Question

5+5^2+5^3+...+5^50 cu 2^2975
Cu explicație buna, daca nu are explicație sau daca ex nu este correct, nu dau coroana. (așteptați până luni sa vedeți dacă ex este correct și cine merita coroana.)​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$S = 5 + {5}^{2} + {5}^{3} + ... + {5}^{50} \ \ \Big| \cdot 5$

$5S = {5}^{2} + {5}^{3} + ... + {5}^{50} + {5}^{51} \ \ \Big|+ 5$

$5S + 5 = \underbrace{5 + {5}^{2} + {5}^{3} + ... + {5}^{50}}_{S} + {5}^{51}$

$5S + 5 = S + {5}^{51}$

$4S = {5}^{51} - 5$

$S = \dfrac{{5}^{51} - 5}{4}$

=>

$\dfrac{{5}^{51} - 5}{4} < {5}^{51} - 5 < {5}^{51} = {( {5}^{3} )}^{17} = {125}^{17}$

${2}^{2975} = {( {2}^{175} )}^{17} = {( {( {2}^{8} )}^{25} )}^{17} = {( {128}^{25} )}^{17}$

deoarece:

$125 < 128 \implies 125 < {128}^{25} \\ \implies {(125)}^{17} < {( {128}^{25} )}^{17}$

deci:

$\dfrac{{5}^{51} - 5}{4} < {125}^{17} < {( {128}^{25} )}^{17} = {2}^{2975}$

$\implies \dfrac{{5}^{51} - 5}{4} < {2}^{2975} \iff \bf S < {2}^{2975}$