Question

5.a)Aratati ca daca a =10n +7 si b=6n+5 pentru orice n sa apartina lu N atunci numerele sunt prime intre ele
b)Aratati ca (3n +7 :4n +9)=1 oricae ar fi n sa apartina lui N

Answer 1

a) a= 10n + 7
b = 6n +5
daca a si b nu sunt prime intre ele (au un divizor comun ≠1) ⇒
⇒ d | (10n + 7) ⇒ d | 3(10n + 7) = 30n + 21    (1)
d | (6n+5) ⇒ d | 5(6n + 5) = 30n + 25  (2)
⇒  d | [(2) - (1)] = 4  ⇒ d ∈ {2,4}  dar, a si b sunt nr. impare , si, deci, nu sunt divizibile cu 2 sau cu 4 ⇒  d = 1 ⇔ a si b sunt prime intre ele
b) presupunem ca (3n+7, 4n+9) ≠ 1
d | (3n+7) ⇒ d | 4(3n+7) = 12n + 28    (1)
d | (4n + 9) ⇒ d | 3(4n +9) = 12n +27   (2)
⇒ d |[(1) - (2)] = 1