Question

5. Cate elemente are multimea A u B daca A = {x€Z | √4x-5/√x+1 €N} și B = {x€N | |x-2| ≤ 3}?​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

x + 1 ≠ 0 => x ≠ -1

$\sqrt{ \dfrac{4x - 5}{x + 1} } \in \mathbb{N} \ , \ x \in \mathbb {Z}$

$\dfrac{4x - 5}{x + 1} = \dfrac{4x + 4 - 9}{x + 1} = \dfrac{4(x + 1) - 9}{x + 1} = 4 - \dfrac{9}{x + 1}$

în primul rând, fracția trebuie să fie un număr întreg, deci (x + 1) este divizor întreg al lui 9

$(x + 1) \in \{-9; -3; -1; 1; 3; 9 \}$

$4 - \dfrac{9}{x + 1} \in \{5; 7; 13; - 5; 1; 3 \}$

dintre aceste valori, convine x + 1 = 3 => x = 2

$\sqrt{ \dfrac{8 - 5}{2 + 1} } = \sqrt{ \dfrac{3}{3} } = \sqrt{1} = 1 \in \mathbb{N}$

$\implies A = \{2\}$

$|x - 2| \leqslant 3$

$- 3 \leqslant x - 2 \leqslant 3$

$- 1 \leqslant x \leqslant 5$

$x \in \mathbb {N} \implies B = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$

$A \cup B = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$

$\implies card(A \cup B) = 6$