5. Diagonala dreptunghiului ABCD este de 20 cm. Fie AM 1 BD şi MB = 3MD. (2p) b) Prelungirea segmentului AM intersectează cercul circumscris dreptunghiului ABCD în N. Demonstrați că triunghiul ANB este echilateral.
Răspunsuri la întrebare
Salut.
Folosim teorema inaltimii in triunghiul DAB dreptunghic si aflam ca AM este media geometrica a segmentelor DM si MB, deci AM este 5 rad. 3
In triunghiul AMB dreptunghic aplicam T. Pitagora si aflam ca AB este 10 rad. 3
Stim ca AB este ipotenuza, si AB este 2AM, deci unghiul ABM este de 30 de grade, iar unghiul MAB este de 60 de grade.
Din teorema-putere Coarda-Coarda, stim ca AM*MN = DM*MB
Inlocuind: 5rad3 * MN = 5 * 15 => MN = 75/5rad3 => MN = 5 rad 3
MN=AM, MB ⊥ AN => MB este o ceviana ce uneste perpendicular varful B cu mijlocul laturii opuse, adica AN.
Prin urmare, triunghiul ANB este isoscel. Cum am aflat ca unghiul ABM este de 30 de grade, iar acum stim ca MB este si bisectoare, aflam ca unghiul ABN este de 60 de grade.
Triunghiul ABN este isoscel cu un unghi de 60 de grade, inseamna ca este echilateral. Q.E.D.
Răspuns:
Demonstrația în poză.
Se aplică pe rând Th Catetei în ADB.
Pitagora în AMB.