Question

5 Fie a=1×2×3×4×...×n+57.
a Pentru n = 10, arătați că a nu este pătrat perfect.
b Determinați numărul natural n pentru care a este pătrat perfect.​

Answer 1

a=1·2·3·....·n+57
a. Daca n=10 atunci numarul 1·2·3·...·10 are ultima cifra 0 deoarece contine cel putin un multiplu de 10 sau cel putin un produs dintre 5 un numar par cu ultima cifra 2;4;6 sau 8;
Asadar pentru n=10 ⇒u.c(a)=u.c(1·2·3·...·10+57)=0+7=7
Dar deoarece ultima cifra a unui patrat perfect nu este 7 ,rezulta ca numarul a nu este patrat perfect;
b. Observam faptul ca pentru a=1·2·3·...·n+57 astfel incat n≥5 ,n∈N ,u.c(a)=7 care nu este ultima cifra de patrat perfect;
Analizam cazurile n≤4 ,n∈N;
1. daca n=4 ⇒a=1·2·3·4+57=24+57=81 ⇒patrat perfect deoarece 81=9²;
2. daca n=3 ⇒a=1·2·3+57=6+57=63 ⇒nu este patrat perfect deoarece 3 nu este ultima cifra de patrat perfect;
3. daca n=2 ⇒a=1·2+57=2+57=59 ⇒nu este patrat perfect deoarece este numar prim;
4. daca n=1 ⇒a=58 care nu este patrat perfect deoarece 8 nu este ultima cifra de patrat perfect;
In concluzie n=4 pentru care a este patrat perfect.