Question

5) Fie ecuația: x2+2x-m=0.
a) Determinați meR a.î. ecuația să aibă 2 rădăcini reale.
b) Determinați meR a.î. ecuația să aibă 2 rădăcini reale negative.
c) Determinați meR a.î. ecuația să aibă 2 rădăcini reale de semne opuse​

Answer 1

Cand ai ecuatii cu parametru, si te pune sa studiezi valorile lui m in functie de radacini, se rezolva in general din delta si din relatiile lui Viète (grad 2).

Asadar:

a) Ecuatia are doua radacini reale daca si numai daca delta este mai mare ca 0

delta = b^2 - 4ac = 4 - 4 × 1 × (-m) = 4 + 4m

4 + 4m > 0 => 4m > -4 => m > -1

Raspuns: m apartine lui (-1 ; +inf)

b) Ecuatia are doua radacini reale si negative. Plecam de la rezolvarea de la a) si restrangem domeniul pt radacinile negative.

Daca ambele radacini sunt negative, atunci suma radacinilor este negative, iar produsul lor este pozitiv. Relatia dintre radacini si suma si produs sunt date de relatiile lui Viète.

s = -b/a ; p = c/a

s < 0 => -2/1 = -2 < 0 adevarat (nu contine parametrul m, nu ne ajuta, dar e bine ca am verificat)

p > 0 => -m/1 = -m > 0 => m < 0

Astfel, avem doua conditii de indeplinit

1. m > -1 (de la punctul a) )

2. m< 0

Deci, per total, m apartine (-1, 0)

c) Se rezolva absolut la fel. Daca radacinile sunt de semn opus atunci produsul lor este negativ

p < 0 => -m < 0 => m > 0

Conditii:

1. m > -1 (tot asa, de la punctul a) pt ca cerem doua radacini reale)

2. m > 0

Per total, m apartine (0, + inf)