Question

5) Fie f = X( la puterea a 3 a) + a X(la puterea a 2 a) +X + 1 şi g = X + 3 , polinoame din Z5 [X].
a) Determinaţi a Z5 , astfel încât polinomul f să fie divizibil cu g.
b) Pentru a =1 , rezolvaţi în inelul: (Z5 , +, .), ecuaţia: f(x)

Answer 1

f = x³ +ax² +x+1 se divide cu g daca g=0      ; x+3 = 0         I + 2
                                                                    x +3+2 = 2 
                                                                         3+2 =0 in Z₅
rad. impartitorului x=2 
gI f          daca f( 2 ) =0          ;  2³ +4·a + 2 +1 =0 
                                                ↓
                                                =3    
                                              3+4·a + 3 =0       ; 4·a +1 =0  I + 4 
4·a = 4       ⇒ a =1 ; 
b.       f = x³ +x² +x+1 = x² ( x+1 ) + ( x +1 ) = ( x² +1 ) ·( x +1 )  =0 ⇒
          x +1 =0  ⇒     x₁ =4 
           x² +1 =0  I +4      ⇒  x² = 4 
           x₂=2 
           x₃=3