5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB= 8 cm şi AC = 6 cm, iar punctele M şi N sunt situate pe laturile AB, respectiv AC, astfel încât AM= 3 cm şi AN = 4 cm.
a) Arată că <AMN congruent cu <ACB.
b) Perpendiculara din A pe BC intersectează segmentul MN in P. Demonstrează că punctul P este mijlocul segmentului MN.
Răspunsuri la întrebare
a) observăm că AB/AN=8/4=2 și AC/AM=6/3=2, ceea ce inseamna ca AB/AN=AC/AM, deci ∆ABC~∆ANM,
rezultă astfel ca <AMN=<ACB
b) ∆ABC~∆ANM înseamnă că <ANM=<ABC
fie AD perpendicular pe BC, AD n MN={P}
<CAD=<ABC, dar <ANM=<ABC, rezultă
<CAD=<AMN, cum A,P si D sunt coliniare, inseamna ca
<PAM=<AMN, deci ∆APM isoscel cu AP=PN
la fel, demonstram că ∆APN este isoscel cu AP=PM
de unde rezultă că AP=MP=NP
deci, P este mijlocul segmentului MN
Răspuns:
a) asa este
b) corecta si aceasta, asa le-a dat si in barem, doar nu o sa ii contrazic eu??
Explicație pas cu pas:
AM/AC=3/4
AC/AB=6/8=3/4
cum tr sunt dreptunghice, caz de asemanare LUL, tr AMNasemernea trACB (Extra, MN se zice 'antiparalela" la BC)
b) din a), unghi AMN congruent unghi ACB. fie masua acestora x°, iar a complementelor lor, y°.
Din unghiuri cu complemente egale sau cu laturile pwerpendic7ulare, rezilta tr MAP isoscel de baza MA si, rerspectiv, trPAN, ososcel de baza AN
deci [MP]=[PA]
si, respectiv [PA]=[PN]
din cele 2cv de mai sus⇒[MP]=[PN]⇔P este mijlocul segmentului MN.
