Question

5. In figura alăturată punctele M și N sunt mijloacele laturilor AC, respectiv BC ale unui triunghi

ABC dreptunghic în A, cu BC = 24 cm și măsura unghiului C egală cu 30°.

(2p) a) Determină lungimea segmentului MN.

С

N

M

А

B

(3p) b) Calculează raportul dintre perimetrul triunghiului AMN și perimetrul triunghiului ABC.

A.

Answer 1

Salut!

Ipoteză:

ΔABC → dreptunghic

[M mij. AC

[N mij. BC

BC = 24 cm

∡C = 30 °

Concluzie:

a) MN = ?

b) PΔAMN/PΔABC = ?

Demonstrație:

a) [M mij. AC ⇒ AM ≡ MC (1)

[N mij. BC ⇒ BN ≡ NC (2)

Din (1) și (2) ⇒ MN linie mijlocie

MN = AB/2

MN || AB

În ΔABC,

∡A = 90°

} ⇒ AB = BC/2

∡C = 30°

AB = 12 ⇒ MN = 12 : 2 = 6 cm.

b) Dacă N este mijlocul lui BC ⇒ AN este mediana corespunzătoare ipotenuzei, AN = BC/2 = 12 cm.

în ΔAMN, AN = 12 cm; MN = 6 cm; AM = AC/2

În ΔABC aplicăm teorema lui pitagora.

AB² + AC² = BC² ⇔ 12² + AC² = 24²

AC² = 24² - 12²

AC² = 432

AC = √432 = 12√3.

AM = AC/2 = 12√3 : 2 = 6√3 cm.

P ΔAMN = AN + MN + AM

P ΔAMN = 12 + 6 + 6√3

P ΔAMN = 6 (3 +√3)

P ΔABC = AB + BC + AC

P ΔABC = 12 + 24 + 12√3.

P ΔABC = 12 (3+√3)

PΔAMN/PΔABC = 6 (3 +√3) : 12 (3+√3) = 1/2

Mult succes!