Question

5. Se consideră expresia E(x)=3(x+1)² + 2(x+2)(x+3)−(x+5), unde x este număr real. Demonstrați că, pentru orice număr natural n, numărul natural E(n) este divizibil cu 10. ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$E(x) = 3 {(x + 1)}^{2} + 2(x + 2)(x + 3) - (x + 5) \\ = 3( {x}^{2} + 2x + 1) + 2( {x}^{2} + 5x + 6) - x - 5 \\ = 3 {x}^{2} + 6x + 3 + 2 {x}^{2} + 10x + 12 - x - 5 \\ = 5 {x}^{2} + 15x + 10 = 5( {x}^{2} + 3x + 2) \\ = 5(x + 1)(x + 2)$

(x + 1)(x + 2) este divizibil cu 2, deoarece este un produs de două numere consecutive

=> E(x) este divizibil cu 5 și cu 2

=> E(x) este divizibil cu 10, pentru orice număr natural n