Question

5. Se consideră trapezul isoscel ABCD cu AB || CD, AB = 12 cm, CD = 20 cm, *DAC = 90° şi AC BD = {0}. a) Calculați aria trapezului isoscel ABCD. b) Calculaţi perimetrele triunghiurilor AOB și COD.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

AM ⊥ DC =>

$DM = \frac{DC - AB}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4 \: cm = > \: MC = 16 \: cm$

în Δ ADC dreptunghic:

$AM^{2}=DM \times MC = 4 \times 16 = 64 = > AM = 8 \: cm$

în Δ AMD dreptunghic:

$AD^{2} = AM^{2}+DM^{2} = 64 + 16 = 80 = > AD = BC = 4 \sqrt{5} \: cm$

din nou, în Δ ADC:

$AC^{2}= DC^{2}-AD^{2} = 400 - 80 = 320 = > AC = 8 \sqrt{5} \: cm$

$aria(ABCD) = \frac{(AB + CD) \times AM}{2} = \frac{(12 + 20) \times 8}{2} = 128 {cm}^{2}$

ABCD este trapez isoscel => AD = BC; AC = BD; AO = BO; CO = DO

Δ AOB ~ Δ COD (cazul U.U.U.)

$\frac{AO}{CO} = \frac{AB}{CD} = > \frac{AO}{CO} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \\ \frac{AO}{AO + CO} = \frac{3}{3 + 5} = > \frac{AO}{AC} = \frac{3}{8} \\ \frac{AO}{8 \sqrt{5} } = \frac{3}{8} = > AO = \frac{3 \times 8 \sqrt{5} }{8} \\ AO = BO = 3 \sqrt{5} \: cm \\ CO = DO = 5 \sqrt{5} \: cm$

$perimetrul(AOB) = AB + AO + OB = 12 + 2 \times 3 \sqrt{5} = 12 + 6 \sqrt{5} = 6(2 + \sqrt{5}) \: cm$

$perimetrul(COD) = CD + CO + OD = 20 + 2 \times 5 \sqrt{5} = 20 + 10 \sqrt{5} = 10(2 + \sqrt{5}) \: cm$