Question

5. Se consideră triunghiul echilateral ABC cu latura de 14 cm şi punctele D, E şi F situate pe laturile AB, BC, respectiv CA, astfel încât AD = 2 cm, BE = 6 cm şi CF = 4 cm. Arătaţi că: a) DBE~ ECF; b) <DEF = 60°.​

Answer 1

a)

ΔABC echilateral cu latura de 14 cm

⇒ BD = AB - AD

BD = 14 - 2 = 12 cm

EC = BC - BE

EC = 14 - 6 = 8 cm

analizăm ΔDBE și ΔECF

DB / EC = 12 / 8 = 3 / 2

BE / CF = 6 / 4 = 3 / 2

⇒ DB / EC = BE / CF

∡DBE ≡ ∡ECF (60°)

⇒ (criteriul L.U.L.)  ΔDBE ~ ΔECF

b)

∡DEF = ∡BEC - (∡CEF + ∡DEB)

∡BEC = 180° (unghi alungit)

⇒  ∡DEF = 180° - (∡CEF + ∡DEB)   ①

∡BDE + ∡DEB = 180° - ∡DBE

∡BDE + ∡DEB = 180° - 60° = 120°

ΔDBE ~ ΔECF  ⇒  ∡BDE ≡ ∡CEF

⇒ ∡CEF + ∡DEB = 120°   ②

①, ② ⇒

⇒ ∡DEF = 180° - 120°

∡DEF = 60°