5) Se dă trapezul isoscel ABCD, cu [AD]≡[BC] și bazele: AB = 16cm, CD = 4cm. Dacă AC perpendicular BC, se cer:
a) aflați perimetrul trapezului;
b) stabiliți dacă aria trapezului este egală cu cm2;
c) arătați că lungimea diagonalei DB este mai mică decât 13cm.
Răspunsuri la întrebare
Explicație pas cu pas:
a) Perimetrul trapezului se poate calcula adunând lungimile laturilor. Deoarece trapezul este isoscel, avem că AB=DC, deci lungimile laturilor opuse sunt egale: AB+BC+CD+DA = 16 + BC + 4 + BC = 20 + 2BC. Trebuie să găsim lungimea laturii BC. Având în vedere că AC este perpendicular pe BC, putem folosi teorema lui Pitagora în triunghiul ABC: AC^2 + BC^2 = AB^2. Dar știm că AB=16 și AC este înălțimea triunghiului ABC, deci AC este egal cu jumătatea produsului bazelor împărțit la înălțime: AC = (AB+CD)/2 = 10. Astfel, putem calcula BC: BC^2 = AB^2 - AC^2 = 16^2 - 10^2 = 196, deci BC = 14. Perimetrul trapezului este AB+BC+CD+DA = 16 + 14 + 4 + 14 = 48cm.
b) Aria trapezului se poate calcula folosind formula A = (b1 + b2)h/2, unde b1 și b2 sunt bazele, iar h este înălțimea trapezului (în cazul nostru, distanța dintre baze). Înălțimea triunghiului ABC este AC, adică 10cm. Prin urmare, aria trapezului este A = (16+4)×10/2 = 100cm^2.
c) Fie E punctul de intersecție al diagonalelor trapezului. Deoarece trapezul este isoscel, știm că AE și EB sunt egale. Considerăm triunghiul dreptunghic AEC (pentru că AC este perpendicular pe BC). Folosind teorema lui Pitagora, avem AC^2 + EC^2 = AE^2. Dar știm că AC=10 și EC este jumătatea diferenței bazelor, deci EC = (AB-CD)/2 = 6. Înlocuind, obținem 10^2 + 6^2 = AE^2, adică AE = √136. Astfel, lungimea diagonalei DB este egală cu două ori AE, deci DB = 2√136. Calculând, obținem DB ≈ 23,31cm, ceea ce este mai mare decât 13cm, așa că afirmația că DB este mai mică decât 13cm este falsă