Question

5. Se
e consideră expresia E(x)=((x+4)2 – 3(x+4)-1)(x?
x2 + 5x –3)+9, unde x este număr real.
Arătaţi că, pentru orice număr natural a , numărul E(a) este pătratul unui număr natural par.​

Answer 1

E(x)=[(x+4)^2-3(x+4)-1](x^2+5x-3)+9

= (x^2+8x+16-3x-12-1)(x^2+5x-3)+9

= (x^2+5x+3)(x^2+5x-3)+9

= x^4+5x^3-3x^2+5x^3+25x^2-15x+3x^2+15x+3(-3)+9

= x^4+10x^3+25x^2

E(a)=E(x) => E(a)=a^4+10a^3+25a^2

= a^2(a^2+10a+25)

= a^2[a(a+5)+5(a+5)]

= a^2(a+5)(a+5)

= a^2(a+5)^2

= [a(a+5)]^2

CAZ I

a=par => a^2=par; a+5 este nr. impar => (a+5)^2 este nr. impar

a^2(a+5) = nr. par ori nr. impar = nr par => E(a) este patratul unui nr par

CAZ II

a= nr. impar => a^2 = nr impar; a+5 este nr. par => (a+5)^2 este nr. par

a^2(a+5)^2 = nr. impar ori nr. par = nr par => E(a) este patratul unui nr. natural par

Sidin CAZ I si CAZ II => E(a) este patratul unui nr. nat. par