Question

5. Stabiliţi natura triunghiului de laturi a, b, c care îndeplinesc condiția:
a^2+ b^2+ c^2- ab-bc-ca=0.

Answer 1

a^2+ b^2+ c^2- ab-bc-ca=0

a^2+ b^2+ c^2 =ab+bc+ca  |*2

2(a^2+ b^2+ c^2)=2(ab+bc+ca)

2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca

(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0

Cum (a-b)^2 ≥ 0 pt oricare a,b  ne rezulta :

(a-b)^2=0=>a-b=0=>a=b

(b-c)^2=0=>b-c=0=>b=c

(c-a)^2=0=>c-a=0=>c=a

Din toate cele 3 relatii => a=b=c => natura triunghiului este echilateral