Question

50 de puncte am nevoie de ajutor ex 91

Answer 1

desenam paralelogramul ABCD

notam cu M mijlocul laturii [BC], cu N notam mijlocul laturii [CD]

Fie {P}=AM∩BD

Ducem diagonala [AC]; AC ∩ BD = {O} .

In ΔABC avem [AM] si [BO] mediane⇒P este centrul de greutate al ΔABC

Centrul de greutate În orice triunghi,centrul de greutate G este situat pe oricare dintre mediane la 2/3 faţă de vârf şi la 1/3 faţă de bază

⇒ OP = PB/2⇒ OP/PB = 1/2 ⇒OP=1p si PB = 2p (1)

⇒OB=3p.

La fel ca mai sus in ΔADC

In ΔADC avem [AN] si [DO] sunt mediane ⇒Q este centrul de greutate al ΔADC

Centrul de greutate În orice triunghi,centrul de greutate G este situat pe oricare dintre mediane la 2/3 faţă de vârf şi la 1/3 faţă de bază

⇒OQ=DQ/2⇒OQ/DQ=1/2⇒OQ=1p si DQ=2p;(2)

⇒DO=3p

Din relatiile (1) si (2)⇒ DQ=QO+OP=PB⇒DQ=QP=PB. Deoarece ΔADQ, ΔAQP, ΔAPB au bazele egale(DQ=QP=PB) si inaltimile corespunzatoare laturilor DQ, QP respectiv PB identice, ele sunt triunghiuri echivalente⇒

A ΔADQ= A ΔAQP=A ΔAPB=(1/3)·A ΔADB⇒ A ΔAQP=(1/3)·A ΔADB (3)

Dar A ΔADB=(1/2)·A ABCD (4)

Din (3) si (4) ⇒A ΔAQP = (1/3)·(1/2)·A ABCD⇒A ΔAQP=(1/6)·A ABCD⇒

A ΔAPQ/A ABCD=1/6