Question

5p 4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu <BAC=90° , <ABC=60° si AB=60 cm. Punctul M este mijlocul segmentului BC, iar punctul P este mijlocul lui AM.
a) Arata ca AM = 6 cm
b) Determina distanta de la punctul P la dreapta BC​

Answer 1

ΔABC este dreptunghic

∢ABC = 60° ⇒ ∢ACB = 30°

AB este cateta opusă unghiului de 30° ⇒ BC = 2AB = 2×60 ⇒ BC = 120 cm

M este mijlocul segmentului BC ⇒ AM este mediană ⇒ AM = BM = CM = ½BC

$AM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{120}{2} \Rightarrow \bf AM = 60 \ cm$

b)

AB = AM = BM = 60 cm

⇒ ΔABM este echilateral ⇒ ∢AMB = 60°

notăm PN⊥BC, N∈BC

d(P,BC) = PN

în ΔPNM dreptunghic: ∢PMN = 60°

P este mijlocul segmentului AM

⇒ PM = 30 cm

$\sin \measuredangle PMN = \dfrac{PN}{PM} \iff PN = PM \cdot \sin \measuredangle PMN$

$PN = 30 \cdot \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \implies \bf PN = 15 \sqrt{3} \ cm$