Question

5p 4. În figura alăturată este reprezentat un triunghi isoscel
ABC cu AB=AC=3√5 cm şi BC= 6 cm. Punctul M
este mijlocul segmentului BC, punctul G este centrul de
greutate al triunghiului ABC, iar punctul H este
ortocentrul triunghiului ABC.
(2p) a) Arată că GM = 2cm.
(3p) b) Calculează lungimea segmentului GH.
B
H
M

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a) M este mijlocul segmentului BC

=> BM ≡ MC = ½•BC

BM = ½•6 = 3 cm

T.P. în ΔAMB:

AM² = AB² - BM² = (3√5)² - 3² = 45 - 9 = 36 = 6²

=> AM = 6 cm

punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC

$GM = \frac{1}{3} \cdot AM = \frac{1}{3} \cdot 6 \implies \red {\bf GM = 2 \: cm}$

b) ducem înălțimea BN ⊥ AC, N ∈ AC

punctul H este ortocentrul triunghiului ABC

=> AM ∩ BN = {H}

BN•AC = AM•BC

BN•3√5 = 6•6 => BN = 12/√5 cm

T.P. în ΔBNC:

NC² = BC² - BN² = 6² - (12/√5)²

=> NC = 6/√5 cm

ΔBMH ~ ΔBNC (dreptunghice, ∢B comun)

$\frac{BM}{BN} = \frac{MH}{NC} \iff \frac{3}{ \frac{12}{ \sqrt{5} } } = \frac{MH}{ \frac{6}{ \sqrt{5} } } \\ \frac{3 \sqrt{5} }{12} = \frac{MH \sqrt{5} }{6} \implies \bf MH = \frac{3}{2} \: cm$

$GH = GM - MH = 2 - \frac{3}{2} \\ \implies \red {\bf GH = \frac{1}{2} \: cm}$