Question

5p 6. În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat ABCD cu AB=12 cm, unde O este centrul cercului circumscris triunghiului BCD. Punctele M şi N sunt mijloacele segmentelor CD, respectiv AC. Punctul P aparţine segmentului BC, astfel încât BP-3PC. (2p)a) Arată că aria triunghiului BCD este egală cu 36√3 cm² B (3p) b) Demonstrează că planele (MNP) şi (AOD) sunt paralele. 1/ A P M D​

Answer 1

ABCD este tetraedru regulat ⇒ toate fețele sunt triunghiuri echilaterale, cu latura 12 cm

a)

$\mathcal{A}_{\Delta BCD} = \dfrac{BC^{2} \sqrt{3}}{4} = \dfrac{12^{2} \sqrt{3}}{4} = \dfrac{144 \sqrt{3}}{4} = \bf 36 \sqrt{3} {cm}^{2}$

b)

BP = 3CP și BC = BP+CP ⇒ BC = 4CP

notăm DO∩BC = {R}

O este centrul de greutate în ΔBCD

DR este mediană ⇒ R este mijlocul laturii BC

$CR = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{4CP}{2} \iff CR = 2CP$

⇒ P este mijlocul segmentului CR

M este mijlocul segmentului CD

⇒ PM este linie mijlocie în ΔCDR

⇒ PM || DR ⇒ PM || DO (1)

N este mijlocul segmentuluiAC

⇒ MN este linie mijlocie în ΔACD

⇒ MN || AD (2)

PM⊂(MNP), MN⊂(MNP) (3)

DO⊂(AOD), AD⊂(AOD) (4)

din (1), (2), (3) și (4):

$\implies (MNP) \ \big| \big| \ (AOD)$