Question

5p 6. In figura alăturată este reprezentată o piramidă VABCD cu ABCD pătrat, AB = 8 cm și înălțimea
Vo=4 radical din 2, unde 0 este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. Punctele P și Q sunt mijloacele
segmentelor VB , respectiv CV.
(2p) a) Arată că VB=8cm.
b)demonstreaza ca dreptele VM si BC sunt perpendiculare unde {M}=AP intersectat cu DQ

Answer 1

AB=8 cm

VO=4√2 cm

a)

Aflam BD, unde BD este diagonala patratului ABCD

BD=AB√2

BD=8√2 cm

BO este jumatate din diagonala, BO=4√2 cm

In ΔVOB dreptunghic in O aplicam Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza la patrat)

VB²=VO²+OB²

VB²=32+32=64

VB=8 cm

b)

VB=8 cm=VA

Dar AB=8 cm⇒ ΔVAB echilateral (are toate laturile si unghiurile egale)

• Daca ΔVAB este eschilateral, inseamna ca toate fetele laterale ale piramidei sunt triunghiuri echilaterale, deci ΔVBC este echilateral

P si Q sunt mijloacele lui VB si VC⇒ PQ linie mijlocie in ΔVBC⇒ PQ=jumatate din BC, PQ=4 cm

• AP este inaltime in ΔVAB si DQ este inaltime in ΔVDC, Cum ΔVAB≡ΔVDC⇒ AP=DQ⇒ VM va fi mediana, dar ΔVBC echilateral ⇒VM este si inaltime⇒ VM⊥PQ (1)

Dar PQ║BC (PQ linie mijlocie) (2)

Din (1) si (2)⇒ VM⊥BC