6. a) Arătaţi că x² + y² + 10x + 8y +41 ≥ 0, pentru oricare numere reale x şi y.
b) Arătaţi că x² + 25y² + z² - 2x + 30y - 4z + 14 ≥ 0, pentru oricare numere reale x, y şi z.
Răspunsuri la întrebare
Explicație pas cu pas:
Pe b) ți-l fac eu că are 3 necunoscute, pe a) îl faci tu analog, că e mai simplu.
Se arată că o expresie este pozitivă daca ea se poate scrie că suma de expresii pozitive, cel mai des că suma de pătrate perfecte, care sunt pozitive indiferent de ce este în parantezele care sunt la pătrat.
Vedem că nu avem combinații xy, xz sau yz etc.
Așadar vom aplica formulele (a+b)^2 și (a-b)^2 pentru fiecare necunoscută, neavând 2 necunoscute în același pătrat perfect.
Expresia de la b) va fi egală cu
x^2-2*X*1+1-1+(5y)^2+2*5y*3+9-9+z^2-2*z*2+4-4+14 =
(x-1)^2 - 1 + (5y+3)^2 - 9 + (z-2)^2 - 4 + 14 =
(x-1)^2 + (5y+3)^2 + (z-2)^2.
Adică o sumă de pătrate, care este mereu >=0, egalitatea cu zero având loc doar atunci când fiecare paranteză este 0.