Question

6. Arătați că:

a) a = (10ⁿ + 2012) divizibil cu 3, (∀) n ∈ N;
b) b = (3 · 10ⁿ + 6) divizibil cu 9, (∀) n ∈ N.

class: VI.

Answer 1

a)10^n+2012
100....0+2012
Daca nr ab este divizibil cu 3=>a+b este divizibil cu 3
Deci 100...002012 este divizibil cu 3 deoarece 1+0+2+1+2=6. 6 este divizibil cu 3

b)3×10^n+6
300...000+6
Dacă nr ab este divizibil cu 9=>a+b este divizibil cu 9
300...006 este divizibil cu 9 deoarece 3+0+6=9. 9 este divizibil cu 9

Answer 2

Un numar este divizibil daca si numai daca suma cifrelor este divizibila cu 3 .

a=10ⁿ +2012=100...00 (de n ori) +2012=100...2012 (unde 0 apare de n-4 ori si n n > 4) => 1+0+0+...+0+2+1+2=2+4=6 care este divizibil cu 3 => 3/a .

Pentru 0 <= n <= 4 => a∈{2013;2112;3012;12012) => 2+0+1+3=6 ;2+1+1+2=6 ;3+0+1+2=6 ;1+2+0+1+2=6 => 3/6 => 3/a ,ceea ce trebuia demonstrat.

Numarul b poate fi scris sub forma b=300...00 (de n ori) +6=300...06 (unde 0 apare de n-1 ori) => 3+0+0+...+0+6=9 => 9/b ,ceea ce trebuia demonstrat.