Question

.6. Determinați numerele prime a,b,c pentru fiecare din situatiile: a) a +10.6+12.c = 82: 1b) a + b + c = 62 şi 3b+c=122 c) a +3.b + 15:c = xxx și x ​

Answer 1

Răspuns:

a)  2 ; 2 ; 5

b) 2 ; 31 ; 59

c) 3 ; 101 ; 5

d) 3; 13 ; 7

Explicație pas cu pas:

a)

a + 10b + 12c = 82

a = 82 - 10b - 12c = 2(41 - 5b - 6c) = multiplu al lui 2

cum a este prim ⇒ a = 2

deci

2 + 10b + 12c = 82

10b + 12c = 80

5b + 6c = 40

5b = 40 - 6c = 2(20 - 3c) = multiplu al lui 2.

Cum 5 nu este multiplu al lui 2 ⇒ b  este multiplu al lui 2 ⇒ b = 2

5·2 + 6c = 40

10 + 6c = 40

6c = 30

c = 5

b)

a + b + c = 62  si  3b + c = 122

Scadem a doua ecuatie din prima

a + b + c - 3b - c = 62 - 122

a - 2b = -60

a = 2b - 60 = 2(b - 30)  = multiplu al lui 2 ⇒ a = 2

deci

2 = 2(b - 30)

b - 30 = 1

b = 31

2 + 31 + c = 62

c = 62 - 1 - 2 = 59

c)

observam ca orice numar de forma xxx = 111·x = 3·37·x

a⁵ + 3b + 15:c = xxx  cum a, b si c sunt numere naturale ⇒ c = divizor al lui 15, asadar c ∈ { 3, 5 }

cum 4⁵ = 1024 > xxx , atunci a ∈ {2 , 3}

Presupunem ca a = 2

2⁵ + 3b + 15:c = 3·37·x

32 + 3b + 15:c = 3·37·x

Avem ca  c ∈ { 3, 5 }

Daca c = 5 , atunci

32 + 3b + 15:5 = 3·37·x

32 = 3·37·x - 3b - 3 = 3(37·x - b - 1) care este multiplu al lui 3, insa 32 nu este multiplu al lui 3

Deci c ≠ 5, ⇒ c = 3

32 + 3b + 15:3 = 3·37·x

32 + 3b + 5 = 3·37·x

3b = 3·37·x - 37 = 37(3x - 1) ⇒ 3x - 1 este multiplu al lui 3, dar cum x < 3, acesta nu poate sa fie multiplu al lui 3. Asadar a ≠ 2

⇒  a = 3 si atunci

3⁵ + 3b + 15:c = 3·37·x

27 + 3b + 15:c = 3·37·x

⇒ 15:c = 3·37·x - 27 - 3b = 3(37·x - 9 - b) este multiplu al lui 3 ⇒ 15:c este multiplu al lui 3 ⇒ 15:c = 3 ⇒ c = 5

27 + 3b + 3 = 3·37·x

3b = 3·37·x - 30

b = 37·x - 10 ,  cu x < 3

x = 1 ⇒ b = 37·1 - 10 = 37 - 10 = 27 , nu este prim

x = 2 ⇒ b = 37·2 - 10 = 74 - 10 = 64 , nu este prim

x = 3 ⇒ b = 37·2 - 10 = 111 - 10 = 101 , este prim

asadar b = 101

d)

7ᵃ + 84b + 11c = 1512

cum 7⁴ = 2401 > 1512 , atunci a ∈ {2 , 3}

7ᵃ + 84b + 11c = 1512

11c = 1152 - 7ᵃ - 84b = 7(216 - 7ᵃ⁻¹ 12) care este multiplu al lui 7 ⇒ 11c este multiplu al lui 7 ⇒ c = 7

7ᵃ + 84b + 77 = 1512

7ᵃ + 84b = 1512

7ᵃ + 84b = 1435

presupunem ca a = 2

7² + 84b =1435

49 + 84b =1435

84b = 1435 - 49  = 1386

b = 1386/84 = 16,5, nu este numar natural , deci a≠ 2

⇒ a = 3

7³ + 84b =1435

343 + 84b =1435

84b = 1435 - 343 = 1092

b = 1092/84 = 13

b = 13