Question

6. În figura alăturată este desenat tetraedrul regulat ABCD cu latura AB - 4 cm. Punctele M, N, P sunt mijloacele muchiilor AB, AC, respectiv AD. a) Calculează sinusul unghiului dintre dreptele NP și CM. b) Arată că aria totală a tetraedrului este mai mică de 28 cm².​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

tetraedrul ABCD este regulat ⇒ are 4 fețe triunghiuri echilaterale, cu latura 4 cm

$\mathcal{A}_{ABCD} = 4 \cdot \dfrac{ {4}^{2} \sqrt{3} }{4} = 16 \sqrt{3} \ {cm}^{2}$

$16 \sqrt{3} = \sqrt{768} < \sqrt{784} = 28 \\ \implies \mathcal{A}_{ABCD} < 28 \ {cm}^{2}$

b)

NP este linie mijlocie în ΔACD ⇒ NP || CD

⇒ ∢(NP,CM) = ∢(CD,CM) = ∢MCD

$CM = \dfrac{AB \sqrt{3} }{2} = \dfrac{4 \sqrt{3} }{2} = 2 \sqrt{3} \ cm$

DM≡CM ⇒ ΔCMD este isoscel

MQ⊥CD, Q∈CD ⇒ MQ este mediană

⇒ CQ = ½×CD = 2 cm

MQ² = CM²-CQ² = 12-4 = 8 ⇒ MQ = 2√2 cm

$\sin \measuredangle MCD = \dfrac{MQ}{CM} = \dfrac{2 \sqrt{2} }{2 \sqrt{3} } = \dfrac{\sqrt{6} }{3}$

$\implies \sin \measuredangle (NP,CM) = \dfrac{\sqrt{6} }{3}$