Question

6. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD, cu latura AB = = 12 cm, iar punctele E şi F sunt situate pe laturile AB, respectiv BC, astfel încât AE = EB şi BF = 2CF.

a) Arată că aria triunghiului DEF este egală cu 60 cm².
b) Demonstrează că măsura unghiului EDF este egală cu 45°.​

Answer 1

Răspuns:

a) 60 cm²; b) 45°

Explicație pas cu pas:

ABCD este pătrat => AB = BC = CD = AD = 12 cm

a) AE = EB = ½×AB = 6 cm

BF = 2CF

BF + CF = BC => 3CF = BC => CF = 4 cm => BF = 8 cm

Aria(ΔDEF) = Aria(ABCD) - [Aria(ΔAED) + Aria(ΔDCF) + Aria(ΔEBF)] = AB² - (½×AD×AE + ½×CD×CF + ½×EB×BF) = 12² - (½×12×6 + ½×12×4 + ½×6×8) = 144 - (36 + 24 + 24) = 144 - 84 = 60

=> Aria(ΔDEF) = 60 cm²

b) DE² = AD² + AE² = 12² + 6² = 144 + 36 = 180

=> DE = 6√5 cm

DF² = CD² + CF² = 12² + 4² = 144 + 16 = 160

=> DF = 4√10

$Aria_{\triangle DEF} = \frac{DE \cdot DF \cdot \sin(EDF)}{2} \\ \frac{6 \sqrt{5} \cdot 4 \sqrt{10} \cdot \sin(EDF)}{2} = 60 \\ \sin(\angle EDF) = \frac{1}{ \sqrt{2} } \implies \bf \angle EDF = 45 \degree$

q.e.d.