Question

6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă VABCD cu ABCD pătrat, AB = 8 cm
și înălțimea VO = 4 radical din2 cm, unde O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD . Punctele P și Q sunt mijloacele segmentelor VB , respectiv CV .
(2p) a) Arată că VB=8cm
(3p) b) Demonstrează că dreptele VM și BC
sunt perpendiculare,unde QD intersectat cu PA este M.

Answer 1

AB = 8 cm

VO = 4√2 cm

a)

BD = diagonala pătratului ABCD

BD = AB√2 ⇒ BD = 8√2 cm

BO = OD ⇒ BO = 8√2 cm : 2 ⇒ BO = 4√2 cm

În ΔVOB dreptunghic cu ∡VOB = 90° aplicăm teorema lui Pitagora și vom avea

VB² = VO² + OB²

VB² = (4√2)² + (4√2)²

VB² = 32 + 32

VB² = 64 ⇒VB = √64 ⇒ VB = 8 cm

b)

VB = 8 cm

VB = VA = 8 cm

dar AB = 8 cm ⇒ Δ VAB = echilateral ⇒ Δ VBC = echilateral

P și Q sunt mijloacele lui VB și VC ⇒

PQ linie mijlocie în Δ VBC ⇒ PQ = BC : 2 ⇒ PQ = 8 cm : 2 ⇒ PQ = 4 cm

AP → înălțime în Δ VAB

DQ → înălțime în Δ VDC

dar Δ VAB ≡ Δ VDC } ⇒ AP = DQ ⇒ VM = mediană

Δ VBC echilateral ⇒ VM = înălțime ⇒ VM ⊥ PQ ( relația 1)

PQ linie mijlocie ⇒ PQ║BC (relația 2)

Din (1) și (2) ⇒ VM ⊥ BC