Question

6. In figura alaturata, triunghiurile ABC si ABD sunt
dreptunghice in A, AB = 8 cm, AD = 6 cm si
m( a) Arâtati ca MD perpendicular (ABC).
b) Calculati d(B; MD).

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) Pentru a arăta că MD este perpendicular pe AB, trebuie să arătăm că produsul scalar al vectorilor AB și MD este zero:

AB ⋅ MD = (BD - AD) ⋅ (AC - AB)

= (AB + AD - AD) ⋅ (AB + AC - AB)

= AB ⋅ AC - AB ⋅ AB = 0

Deci vectorul AB și vectorul MD sunt perpendiculari, deci MD este perpendicular pe AB.

 b) Dacă d(B, MD) este distanța de la punctul B la dreapta MD, putem folosi formula:

d(B, MD) = |AB ⋅ MD| / |MD|

Calculăm mai întâi |AB ⋅ MD|:

|AB ⋅ MD| = |(BD - AD) ⋅ (AC - AB)|

= |AB ⋅ AC - AB ⋅ AB - AD ⋅ AC + AD ⋅ AB|

= |AB ⋅ AC - AB^2 - AD ⋅ AC + AD ⋅ AB|

Pentru a calcula |MD|, vom folosi teorema lui Pitagora pentru triunghiul ACD:

AC^2 = AD^2 + CD^2

CD = sqrt(AC^2 - AD^2) = sqrt(10^2 - 6^2) = 8

Mai departe, avem:

|MD| = sqrt(CD^2 + CM^2) = sqrt(8^2 + 4^2) = sqrt(80)

Înlocuind în formula pentru distanță, obținem:

d(B, MD) = |AB ⋅ MD| / |MD|

= (|AB ⋅ AC - AB^2 - AD ⋅ AC + AD ⋅ AB|) / sqrt(80)

= (|8AB - 8^2 - 6⋅10 + 8⋅8|) / sqrt(80)

= (|8AB - 76|) / 4sqrt(5)

Pentru a determina valoarea lui AB, putem folosi teorema lui Pitagora pentru triunghiul ABD:

AB^2 = AD^2 + BD^2

AB = sqrt(6^2 + 8^2) = 10

Înlocuind în formula pentru distanță, obținem:

d(B, MD) = (|8⋅10 - 76|) / 4sqrt(5) = 2sqrt(5)