Question

6. Pe laturile triunghiului ABC se consideră punctele M, N pe latura BC; P, Q pe
latura AB; E, F pe latura AC astfel încât: ME || AB || NF; PE || BC || QF şi PN || AC.
Să se demonstreze că MQ || AC.
​

Answer 1

Răspuns :

AB = 9 cm

AC = 12 cm

M,N aparține BC

Q aparține AB

P aparține AC

BM = NC = MQ = NP

a) Perimetrul triunghiului ABC = suma lungimilor laturilor

Perimetrul ABC = AB + AC + BC de unde putem observă lipsa lungimi laturii BC pe care o aflăm aplicând Teorema Lui Pitagora în ΔABC

m(A) = 90° ⇒ BC² = AB² + AC²

BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225

BC = √225 = 15 cm

Perimetrul ABC = 9 + 12 + 15 = 21 + 15 = 36 cm;

b) unim M cu P

N mijlocul lui MC

PN mediana în triunghiul MPC dar PN = MC/2

⇒ mediana este jumătate din ipotenuză ⇒ ΔMPC dreptunghic în P

⇒ MP ⊥ AC și AB ⊥ AC ⇒ MP ║ AB

din teorema fundamentală a asemnănării ΔMPC asemenea cu ΔBAC ⇒ MP/AB = MC/BC = PC/AC ⇒ MP/9 = 2/3 ⇒ MP × 3 = 9 × 2 ⇒ MP = 6 cm;

MC/BC = PC/AC ⇒ 2/3 = PC/12 ⇒ PC = 8 cm; deci AB = 4 cm

Aria ΔMPC = ( MP × PC )/2 = ( 6 × 8 )/2 = 24 cm²;

c) ΔMNP isoscel ⇒ M ≡ N

ΔBMQ ⇒ B ≡ Q

MP ║ AB și BC este secantă ⇒ B ≡ M ( corespondente )

BMQ ≡ MNP ( congruente )

MP, QM paralele cu BC secantă ⇒ NP ║ MQ și NP = MQ ⇒ MNPQ este paralelogram

MN = NP ⇒ MNPQ este romb.

________________________________________________________

Sper că e bine .

Succes !