Question

64. Determinați numerele naturale cuprinse între 100 și 1000, care împărțite la 12, 15 și 18 dau resturile 6, 9 şi, respectiv 12 și câturi nenule.
dau coroana ​

Answer 1

Notăm cu x numerele cuprinse între 100 și 1000 care respectă condițiile problemei

100 < x < 1000

x : 12 = c₁, rest 6 ⇒ x = 12c₁ + 6  | +6  ⇒

x : 15 = c₂, rest 9  ⇒ x = 15c₂ + 9  | +6  ⇒

x : 18 = c₃, rest 12  ⇒ x = 18c₃ + 12   | +6  ⇒

x + 6 = 12(c₁ + 1) ⇒ (x + 6) ⋮ 12

x + 6 = 15(c₂ + 1) ⇒ (x + 6) ⋮ 15

x + 6 = 18(c₃ + 1)  ⇒ (x + 6) ⋮ 18

⇒ (x + 6) ⋮ cmmmc [12, 15, 18] ⇒ (x + 6) ⋮ 180

12 = 2² × 3

15 = 3¹ × 5¹

18 = 2 × 3²

cmmmc [12, 15, 18] = 2² × 3² × 5¹

cmmmc [12, 15, 18] = 4 × 9 × 5

cmmmc [12, 15, 18] = 180

(x + 6) = 180k  | -6 ⇒ x = 180k - 6

100 < x < 1000

100 < 180k - 6 < 100    |-6 (scădem fiecare termen cu 6)

94 < 180k < 994   |:180   (împărțim toată relația cu 180)

1 ≤ k ≤ 5 ⇒ k ∈ {1, 2, 3, 4, 5} 

x ∈ {(180 · 1 - 6); (180 · 2 - 6); (180 · 3 - 6); (180 · 4 - 6); (180 · 5 - 6)} ⇒

x ∈ {174; 354; 534; 714; 896} numerele cuprinse între 100 și 1000 care respectă condițiile problemei