Question

68. Să se demonstreze că lungimea diametrului EF al cercului înscris într-un trapez isoscel ABCD este medie proportională între lungimile celor două baze ale acestuia. ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

ABCD trapez isoscel: AD ≡ BC

notăm AB = B și DC = b

EF diametrul cercului înscris în trapez

AB, DC, AD și BC tangente la cerc

E ∈ AB, F ∈ DC, EF ⊥ AB și EF ⊥ DC

DF ≡ C F = DC÷2

AE ≡ EB = AB÷2

notăm: OM ⊥ BC, M ∈ BC

OM ≡ OF ≡ OE (razele cercului)

ΔOBE ≡ ΔOBM => BE = BM = AB÷2 = B÷2

ΔOC F ≡ ΔOCM => C F ≡ CM = DC÷2 = b÷2

BC = BM + CM = AB÷2 + DC÷2 = (B + b)÷2

notăm: CN ⊥ AB, N ∈ AB, CN ≡ EF

NE ≡ C F = b÷2

BN = BE - NE = B÷2 - b÷2 = (B - b)÷2

T.P. în ΔCBN: CN² = BC² - BN² =

$= {\left(\frac{B + b}{2} \right)}^{2} - {\left(\frac{B - b}{2} \right)}^{2} = \\ = \frac{ {B}^{2} + 2bB + {b}^{2} - {B}^{2} + 2bB - {b}^{2} }{4} \\ = \frac{4bB}{4} = b \cdot B\implies CN = \sqrt{b \cdot B}$

$\implies EF = \sqrt{b \cdot B}$

q.e.d.