Question

7+7^2+7^3+...+7^2204/57​

Answer 1

$\frac{7 + 7^{2} + 7^{3} + ...+ 7^{2204} }{57}$

Calculăn prima data valoarea număratorului, ca să nu il cărăm pe 57 peste tot.

$7 + 7 {}^{2} + 7 {}^{3} + ... + {7}^{2204} \\ = 7(1 + 7 + 7 {}^{2} ) + ... + 7²²⁰¹(1 + 7 + 7 {}^{2} ) \\ =(7¹+7⁴+7⁷+...+7²²⁰¹)(1 + 7 + 49) \\ =(7¹+7⁴+...+7²²⁰¹) \times 57 \\ \\ \\ \iff \frac{(7¹+7⁴+...+7²²⁰¹) \cdot57 }{57} \\\\ = 7¹+7⁴+7⁷+....+7²²⁰¹\\ s=7¹+7⁴+...+7²²⁰¹\\ 7³s=7⁴+7⁷+...+7²²⁰¹+7²²⁰⁴\\7³s-s=7²²⁰⁴-7\\343s-s=7²²⁰⁴-7\\342s=7²²⁰⁴-7\\ \boxed{s=\frac{7²²⁰⁴-7}{342} }$