Question

7. Determinati numarul tripletelor (x, y, z),
cu x laturilor tuturor triunghiurilor dreptunghice
exprimate prin numere intregi
in care produsul catetelor si triplul
perimetrului dau ca rezultat acelasi
numar.
A) 18 B) 6 C) 4 D) 3 E) 10

Answer 1

Defapt cautam triplete pitagoreice, care indeplinesc nunumai relatia:
$x^{2} +y^2=z^2$
Ci si 
$x*y=3(x+y+z)$
Teoria tripletelor pitagoreice este indelung demostrata de matematicieni. Aici nu demonstram teoria, ci ne folosim de ea.
Prin urmare , numerele pitagoreice sunt de forma :
$x=a^2-b^2$
$y=2ab$
$z=a^2+b^2$
=> avem conditia din ipoteza:
$x*y=3(x+y+z)$
=>$(a^2-b^2)*2ab=3(a^2-b^2+2ab+a^2+b^2)$
$(a+b)(a-b)*2ab=3(2a^2+2ab)$
$(a+b)(a-b)*2ab=3*2a(a+b)$
$(a-b)*b=3$
si de aici am gasit:
Daca b=1=> a=4 => (x,y,z)=(15,8,17), dar , respectand conditia x<y<z avem => (x,y,z)=(8,15,17) 
Daca b=3=> a=4 => (x,y,z)=(7,24,25) 
Daca b=√3=> a=2√3 => (x,y,z)=(9,12,15) 

Drept urmare varianta corecta este D) 3