Question

7 Fie [AC] , [BD] = {0} astfel încât AC I BD și O este mijlocul lui (AC) și (BD). Din O se coboară OM I BC cu M e BC și ON I AD cu N e AD. Să se arate că: a ABAC este isoscel; bd(0, BC) = d(0, AD); cM, 0, N coliniare.​

Answer 1

a.

O mijlocul lui AC⇒AO=OC

BO⊥AC, BO inaltime,

Dar BO este si mediana, O fiin mijlocul lui AC⇒ ΔABC este isoscel

Sau alta metoda de rezolvare, prin comparare triunghiuri

ΔAOB si ΔCOB

BO latura comuna

AO=OC

∡AOB=∡COB (90°)⇒L.U.L⇒ΔAOB≡ΔCOB⇒ AB=CB⇒ΔABC isoscel

b.

d(O,AD)=ON

d(O,BC)=OM

• Comparam ΔAOD si ΔCOD

OD latura comuna

AO=CO

∡AOD=∡COD (90°)⇒L.U.L⇒ΔAOD≡ΔCOD⇒ AD=CD⇒ΔADC isoscel

O mijlocul lui BD

CO inaltime⇒ CO mediana ⇒ ΔDCB isoscel⇒DC=BC

Dar DC=AD⇒ AD=BC

Dar BC=AB⇒ AD=AB

• Deci AD=AB=BC=DC⇒ ABCD patrat⇒ diagonalele sunt egale, adica BD=AC⇒ OD=OA (jumatati de diagonala)⇒ΔAOD dreptunghic isoscel⇒ N este mijlocul lui AD (ON este si mediana si inaltime, mediatoare si bisectoare)

• Analog, OM este inaltime si mediana⇒ M mijlocul lui BC⇒ON=OM, MN fiind linie mijlocie in patrat

c. m(∡NOD)=45° (90:2)⇒ m(∡NOC)=45+90=135°

m(∡MOC)=45°(90:2)

m(∡MON)=m(∡MOC)+m(∡CON)=45+135=180°⇒M,O,N coliniare