Question

7 la puterea 2n-1 este divizibil cu 48, pentru orice nr
natural

Answer 1

Răspuns:

Să se demonstreze ca numărul 72n – 1 este divizibil cu 48, pentru orice n∈N.

Fie P(n) = 72n – 1, n∈N.

Pasul 1

Verificăm dacă P(1) este adevărată:

P(1) = 72 – 1 = 49 – 1 = 48 ⋮ 48 (A) => P(1) ⋮ 48 (A)

Pasul 2

Presupunem că P(n) este divizibil cu 48.

P(n) ⋮ 48 (A) => 72n – 1 = 48·a => 72n = 48a + 1

Observaţi că am scos 72n separat, expresia obţinută fiind folosită la pasul următor.

Pasul 3

Demonstrăm că dacă P(n) este adevărată, atunci P(n+1) este adevărată.

P(n+1) = 72(n+1) – 1 = 72n+2 – 1 = 72n·72 – 1 = 72·(48a+1) – 1 = 49·48a + 49 – 1 = 49·48a + 48 = 48·(49a +1) ⋮ 48 => P(n+1) ⋮ 48 (A)

Observaţi că pe parcurs am înlocuit 72n cu expresia obţinută la pasul 2.