Question

7. Pe cercul de centru O se afla A şi B. Aflați lungimea lui AB în funcție de rază dacă: a) m (AB) = 60°; b) m (AB) = 120°



Dau 35 de punctele urgent va rog​

Answer 1

a) m(AB) = 60°

$m(\widehat{AOB})=60^{\circ}$

$AO,\:BO-raza\implies AO=BO\implies\Delta AOB-\Delta echilateral$

(Δechilateral are măsura fiecărui unghi de 60°)

$\implies AB=AO=OB\implies AB=r$

b) m(AB) = 120°

$m(AB)=120^{\circ}\implies m(\widehat{AOB})=120^{\circ}$

$AO=BO=r\implies\Delta AOB-\Delta isoscel$

$m( \widehat{ABO})\equiv m( \widehat{BAO})\\\implies m( \widehat{ABO})=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}$

$OC\perp AB;\:C\in AB$

OC - perpendiculară și mediană în ΔAOB

$AC=\frac{1}{2}\times AB$

$OC=\frac{1}{2}\times AO \:(r)$

$\implies(prin\:Teorema \:lui \:Pitagora)\\AC^2=AO^2-OC^2=\frac{r^2-r^2}{4}=\frac{3r^2}{4}\\AC=\frac{\sqrt3}{2}$

$AB = 2AC = 2\times\frac{r\sqrt3}{2}\\AB=r\sqrt3$

Answer 2

Explicație pas cu pas:

cercul de centru O și rază r

a)

m(AB) = 60° => m(∢AOB) = 60°

OA = OB = r => ΔAOB este echilateral

=> AB = r

b)

m(AB) = 120° => m(∢AOB) = 120°

OA = OB = r => ΔAOB este isoscel

=> m(∢OAB) = 30°

ON⊥AB, N∈AB => ON este mediană

=> AN = ½×AB

m(∢OAN) = 30° => ON = ½×OA = ½×r

T.Pitagora:

AN² = OA²-ON² = r²-r²/4 = 3r²/4

=> AN = r√3/2

AB = 2AN = 2×(r√3/2)

$\implies \bf AB = r \sqrt{3}$

sau:

AB = 2AN = 2OA×cos30° = 2r√3/2 = r√3