Question

7. Pe planul triunghiului ABC se ridica perpendiculara PA= 3 cm Calculati d(P: BC) și d(A; (PBC)), dacă triunghiul ABC este: a) echilateral cu AB - 4 cm; b) isoscel cu AB - AC - 9 cm și BC - 6v6 c) dreptunghic in A cu AB - 3 cm si AC- 3 radical din 3 cm,​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a.) Construim AM⊥BC, M∈[BC].

AM⊥BC=> AM=inaltime in triunghiul ABC 1

triunghiul ABC= triunghi echilatral 2

Din 1 si 2 => AM=mediana in triunghiul echilatral=>

AM=$\frac{l\sqrt{3} }{2}$,l=latura triunghiului ABC. =>

=>$AM=\frac{4\sqrt{3} }{2} => AM=2\sqrt{3} cm$

PA⊥(ABC)(ipoteza) 3

AM⊥BC 4

AM,BC⊂(ABC) 5

Din 3,4,5=> PM⊥BC=> d(P,BC)=PM

PA⊥(ABC) 6

AM⊂(ABC) 7

Din 6,7=> PA⊥AM=>ΔPAM=Δdreptunghic in A.=>(T.P) : $PM^{2}=PA^{2}+AM^{2}=>PM^{2} =3^{2}+(2\sqrt{3} )^{2} =3^{2} +4*3=3(3+4)=3*7=>\\PM=\sqrt{7*3}=\sqrt{21} cm$

=> d(P,BC)=$\sqrt{21}$ cm

d(A,(PBC))=?

Construiesc AN⊥PM, N∈PM

BC⊥AM 1

BC⊥PM 2

AM∩PM={M} 3

Din 1,2,3=> BC⊥(PAM) 4

                   AN⊂(PAM) 5

Din 4,5 => AN⊥BC 6

                 AN⊥PM 7

                 BC,PM⊂(PBC) 8

                 BC∩PM={M} 9

Din 6,7,8,9=> AN⊥(PBC)=> d(P,(PBC))=AN

AN=inaltime in triunghiul dreptunghic PAM(am aratat ca este dreptunghic mai sus)

=> AN=$\frac{c1*c2}{ip}$,c1=cateta 1,

                   c2=cateta 2

                   ip=ipotenuza

=> AN=$\frac{3*2\sqrt{3} }{\sqrt{21} } =\frac{3*2\sqrt{3} }{\sqrt{3}*\sqrt{7} } =\frac{6}{\sqrt{7} }=\frac{6\sqrt{7} }{7}$ cm => d(A,(PBC)=$\frac{6\sqrt{7} }{7}$ cm