Question

7. Se dă triunghiul ABC în care [AB] = [AC] Fie M si N mijloacele laturilor [AB] si
[AC]. Ştiind că MN = 9 cm şi AB = 15 cm, calculati:
a) perimetrul şi aria triunghiulu ABC.
b) perimetrul şi aria trapezului BMNC​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

MN linie mijlocie a ΔABC. Deci BC=2·MN=2·9=18 cm

AB=AC=15cm. Atunci P(ΔABC)=AB+AC+BC=15+15+18=48cm.

Aria(ΔABC)=(1/2)·BC·AD, unde AD⊥BC, deci AD este şi mediană, deci BD=DC=BC:2=18:2=9.

Din ΔABD, dreptunghic, T.P. ⇒AD²=AB²-BD²=15²-9²=(15-9)(15+9)=6·24=6·6·4, ⇒AD²=36·4, ⇒AD=√(36·4)=6·2=12.

Atunci Aria(ΔABC)=(1/2)·BC·AD=(1/2)·18·12=9·12=108 cm².

b) P(BMNC)=BM+MN+NC+BC=15/2 +9+15/2 +18=15+9+18=24+18=42 cm.

Aria(BMNC)=(MN+BC)·ED/2, unde ED este înălţimea trapezului. Nu cunoaştem ED. ED=AD-AE. Din ΔAEM, după T.P ⇒AE²=AM²-ME², AM=(1/2)AB, ME=(1/2)MN. AM=15/2, ME=9/2. Atunci

AE²=(15/2)²-(9/2)²=(15/2 - 9/2)(15/2 + 9/2)= (6/2)·(24/2)=3·12=36. Deci AE=6.

Atunci ED=12-6=6.

Aria(BMNC)=(MN+BC)·ED/2=(9+18)·6/2=27·3=81 cm²