Question

70 de puncte, urgent:
ABCD dreptunghi
AB=5hm
AD=3hm
E∈AB
AE=1hm
F∈CD
CF=1hm
BQ⊥FE
DP⊥EF
DQ intersectat cu EF={Q}
BP intersectat cu EF={P}
SA SE ARATE CA TRASEUL E→D→P  si EF au aceiasi lungime

Answer 1

Fie G∈AB a.i. FG⊥AB, unde FG=AD=3 hm.
In ΔEFG dreptunghic, cunoastem FG=3 hm. si EG=5-1-1 = 3 hm., deci ΔEFG este dreptunghic isoscel. Cu teorema lui Pitagora, aflam EF^2 = EG^2 + FG^2 = 3^2 + 3^2 = 9+9 = 18, de unde EF=√18 = 3√2 hm.
In ΔADE dreptunghic, cunoastem AE=1 si AD=3 hm., deci aflam DE cu teorema lui Pitagora: DE^2 = AD^2 + AE^2 = 3^2 + 1^2 = 9+1= 10, de unde DE=√10 hm.
In ΔDEF, construim inaltimea EH⊥DF, unde H∈DF. Rezulta aria ΔDEF = (baza*inaltimea)÷2 = (DF*EH)÷2, unde cunoastem DF=5-1=4 hm. si EH=AD=3 hm., deci aria ΔDEF = 4*3÷2 = 6 hm.^2
Deasemenea, DP este inaltime in ΔDEF, rezulta: Aria ΔDEF = EF*DP÷2, adica 6=3√2*DP÷2, de unde DP=6*2÷3√2 = 12÷3√2 = 4√2÷2 = 2√2 hm.
In ΔDEP dreptunghic, aflam EP cu teorema lui Pitagora: EP^2 = DE^2 - DP^2 = √10^2 - (2√2)^2 = 10 - 8 = 2, deci EP = √2 hm.
Observam ca DP+EP = 2√2 + √2 = 3√2 hm., adica DP+EP = EF.