8. Fie M un punct în interiorul triunghiului isoscel ABC ([AB]=[AC])
astfel încât MBA=<MCA. Arată că distanţța de la M la AB este
egală cu distanţa de la M la AC.
Răspunsuri la întrebare
triunghiul BMA este echivalent cu triunghiul MAC: -AM latura comuna
-masura unghiurilor ABM si ACM este egala
-AB=AC
De aici rezulta ca masura unghirilor BAM SI CAM sunt egale.
Ducem inaltima din M pe AB si o notam cu D
Ducem inaltima din M pe AC si o notam cu F
Triunghurile dreptunghice MDA si MFA sunt echivalente:
- AM latura comuna
-masura unghiurilor MAD si MAF este la fel
De aici rezulta ca MD estw egal cu MF
Răspuns:
d(M,AB) ≡ d(M,AC)
Explicație pas cu pas:
ΔABC este isoscel, [AB] ≡ [AC]
=> ∢ABC ≡ ∢ACB
avem:
∢MBC = ∢ABC - ∢MBA
∢MCB = ∢ACB - ∢MCA
∢MBA ≡ ∢MCA
=> ∢MBC ≡ ∢MCB => ΔMBC este isoscel
=> [MB] ≡ [MC]
din [AB] ≡ [AC], ∢MBA ≡ ∢MCA și [MB] ≡ [MC]
=> ΔABM ≡ ΔACM (cazul L.U.L.)
=> ∢BAM ≡ ∢CAM
=> AM este bisectoare => d(M,AB) ≡ d(M,AC)
(Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului.)
q.e.d.
