8. Se consideră prisma patrulateră regulată ABCDA'B'C'D', care are muchia bazei de 4 cm. Știind că d(B', CD) = 2√11 cm, calculaţi d(B', AC).
Răspunsuri la întrebare
Din enunț, deducem că B'C' = BC = 4 cm, deoarece prisma este patrulateră regulată, iar muchia bazei are lungimea de 4 cm.
Notăm cu E și F mijloacele laturilor AB respectiv A'C', iar cu H punctul de intersecție al dreptei B'D' cu planul ACF. Observăm că triunghiurile ABD și A'C'D' sunt asemenea, deoarece au două unghiuri congruente, așadar raportul de asemănare dintre acestea este:
AB / A'C' = BD / C'D'
Știm că BD = B'D' = 2√11 cm și C'D' = B'C' + BC = 8 cm, deci avem:
AB / A'C' = 2√11 / 8
Dar AB = AA' + A'B = A'C' + A'B, iar A'C' = B'C' = 4 cm, așadar:
AB = 4 + A'B
Și din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic B'HD' avem:
B'H^2 + HD'^2 = B'D'^2 = 44
Deoarece triunghiul A'HD' este asemenea cu triunghiul A'CF, putem scrie:
B'H / A'C' = HD' / CF
B'H / 4 = HD' / 2
Și de aici deducem că HD' = 2B'H / 4 = B'H / 2.
Revenind în triunghiul dreptunghic B'HD', avem:
d(B', AC) = HD' = B'H / 2
Pentru a găsi B'H, vom folosi din nou asemănarea triunghiurilor ABD și A'C'D'. Deoarece E este mijlocul lui AB, iar F este mijlocul lui A'C', putem scrie:
B'H / AE = BD / A'C' = 2√11 / 8
Și din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABE avem:
AE^2 + BE^2 = AB^2 = (4 + A'B)^2
Dar deoarece triunghiul A'HB' este asemenea cu triunghiul A'CF', putem scrie:
HB' / A'C' = A'B / CF' = A'B / AF = (AB - 4) / AF
Și de aici deducem că:
B'H = HB' - HD' = (HB' / A'C') * A'C' - B'H / 2
B'H = (AB - 4) / AF * 4 - B'H / 2
B'H = 8 / (2AF + 1) * (AB - 4)
B'H = 2(AB - 4) / (2AF + 1)
Înlocuind AB = 4 + A'B și A'B = AF + F'B, obținem:
B'H = 2(AF + F'B) / (2AF + 1)
Și din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic A'CF' avem:
AC^2