Question

9. Arătaţi că următoarele numere nu sunt pătrate ale unor numere naturale, studiind ultima cifră:
a) 1234567;
b) 2 la puterea 403 +2 la puterea 402;
c) 3 la puterea 12 +3 la puterea 11,
d) 248 la puterea 17

DAU COROANA!!! ​

Answer 1

Răspuns:

Un pătrat perfect are întotdeauna ca ultima cifra pe 0 1 4 5 6 sau 9

A) nr se termina în 7=>nu este patrat perfect

B)2^403+2^402=2^402 (2^1+1)=2^402×3=(2^2)^201 ×3=4^201

×3

4^1=4 4^2=16 4^3=64 4^4=256

Observam ca 4 ridicat la o putere para are ultima cifra 6 iar la o putere impară are ultima cifra 4=>

4^201=...4 un nr care se termina cu 4^201 ×3 = ...4×3 =...2 => nu e pătrat perfect

C)3^12+3^11=3^10 (3^2+3^1)=(3^2)^5 ×12=9^5×12

9^1=9 9^2=81 9^3=729 etc

9 la o putere impară =...1

9 la o putere para=...9

9^5×12=...9×12=...8=> nu e pătrat perfect

D)248^17 luam în considerare doar ultima cifra 8

8^17=8^4×8^4×8^4×8^4×8=

=...6×..6×...6×...6×8=....6×8=8 nu e pătrat perfect

Answer 2

Răspuns:

a) Ultima cifră a unui pătrat perfect este 0, 1, 4, 5, 6 și 9.

b)

${2}^{403} + {2}^{402} = {2}^{402} (2 + 1) = {2}^{402} \times 3$

$u( {2}^{402} ) = 4$

${2}^{1} = 2$

${2}^{2} = 4$

${2}^{3} = 8$

${2}^{4} = 16$

______________

${2}^{5} = 32$

402 : 4 = 100 rest 2

4 × 3 = 12 => NU este pătrat perfect

c)

${3}^{12} + {3}^{11} = {3}^{11}(3 + 1) = {3}^{11} \times 4$

$u( {3}^{11} ) = 7$

${3}^{1} = 3$

${3}^{2} = 9$

${3}^{3} = 27$

${3}^{4} = 81$

__________________________

${3}^{5} = 243$

11 : 4 = 2 rest 3

7 × 4 = 28 => NU este pătrat perfect

d)

$u( {248}^{17} ) = 8$

${248}^{1} = 248$

${248}^{2} = 61504$

${248}^{3} = ...2$

${248}^{4} = ...6$

____________________________

${248}^{5} = ...8$

17 : 4 = 4 rest 1 => NU este pătrat perfect