Question

9. Fie triunghiul echilateral ABC. Notăm cu D, E, F simetricele vârfurilor A, B, respectiv C fata de
laturile opuse.
a) Demonstrează că triunghiul DEF este echilateral,
b) Determină raportul dintre perimetrul triunghiului ABC și
perimetrul triunghiului DEF.​

Answer 1

Răspuns:

Ai desen pe foaie.

Explicație pas cu pas:

       Fiind vorba de un triunghi echilateral, toate proprietatile unui element (latura, unghi, inaltime, mediana, mediatoare, bisectoare, etc.) se regasesc si la celelalte 2 elemente cu acelasi nume din triunghiul respectiv.

       Pentru ca D e simetricul lui A fata de latura BC, E e simetricul lui B fata de latura AC, F e simetricul lui C fata de latura AB,  inseamna ca

AM=DM=BK=EK=CN=FN  Aceste segmente sunt inaltimi in Δ ABC, ΔAEC, ΔCDB  si  ΔBAF.

        ΔBMD = ΔAMB pentru ca sunt dreptunghice in M si au catetele congruente: MB comuna si AM=MD.

       Dar MB = MC pt. ca AM, fiind inaltime in Δ echilateral ABC  , imparte latura BC in 2 parti congruente.  Cateta MD fiind comuna,

⇒

ΔBMD = ΔCMD  

       In mod absolut identic,

ΔBMD = ΔCMD =  ΔCKE = ΔAKE = ΔANF = ΔBNF

⇒

ΔABC = ΔBDC = ΔCEA = ΔAFB   (1)

⇒

∡CAB = ∡CAE = ∡BAF  = 60°  

∡EAF = ∡CAB + ∡CAE + ∡BAF  = 60° · 3 = 180°

⇔ E, A si F sunt coliniare.

In mod identic

∡ABC = ∡ABF = ∡DBC  = 60°  

∡DBF = ∡ABC + ∡ABF + ∡DBC  = 60° · 3 = 180°

⇔ D, B si F sunt coliniare.

si

∡ACB = ∡ACE = ∡BCD  = 60°  

∡ECD = ∡ACB + ∡ACE + ∡BCD  = 60° · 3 = 180°

⇔ E, C si D sunt coliniare.

⇒

ΔDEF este echilateral si are latura cat dublul laturii lui ABC     (2)

b)

Notand cu a latura ΔABC  (3)

⇒

perimetrul  ΔABC = 3a    (4)

Din (1) (2),  (3) si (4) ⇒

perimetrul  ΔDEF = 3 · 2a = 6a    (5)

Din (4) si (5)

⇒

Raportul dintre perimetrul triunghiului ABC și  perimetrul triunghiului DEF este

3a / 6a = 1/2

Desenul ti l-am pus pe foaie.