99 DE PUNCTE+ COROANA!!
Se considera tetraedrul ABCD in care AB⊥AC⊥AD⊥AB, ca in figura alaturata.
a. Demonstrati ca muchiile opuse ale tetraedeului ABCD sunt perpendicullare doua cate doua.
b. Daca M∈BC astfel incat AM⊥BC, aratati ca BC⊥DM.
c. Daca AB= 30 cm, AC= 40 cm si AD= 18 cm, calculati aria triunghiului BDC.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) Tr. sa dem. ca AD⊥BC, DB⊥AC, DC⊥AB.
AB, AC⊂(ABC), AD⊥AB, AD⊥AC, AB∩AC={A}, ⇒ ca daca o dreapta (AD) este perpendiculara pe 2 drepte concurente dintr-un plan (ABC0, atunci AD⊥(ABC). Daca o dreapta este perpendiculara unui plan, atunci ea este perpendiculara la orice dreapta din acest plan, Deci AD⊥BC. (muchii opuse)
DB este oblica la (ABC), DA perpendiculara iar AB este proiectia oblicii DB la planul (ABC).
AB⊥AC. Daca in (ABC)trasam prin B o dreapta b, b║AC, atunci AB⊥b.
Conform teoremei celor trei perpendiculare, ⇒oblica DB⊥b, atunci DB⊥AC. deoarece AC║b
Analog se demonstreaza ca DC⊥AB.
b) Daca M∈BC si AM⊥BC, atunci DM⊥BC, deoarece DM este oblica la planul (ABC), DA este perpendiculara, iar AM este proiectia oblicii DM in acest plan. Conform teoremei ca daca proiectia oblicii este perpendiculara pe o dreapta din plan, atunci si oblica este perpendiculara pe aceasta dreapta. (T.celor3⊥).
c) AB=30cm, AC=40cm, AD=18cm. Aria(ΔBDC)=???
ΔABC dreptunghic cu ipotenuza BC, BC²=AB²+AC²=30²+40²=900+1600=2500. Atunci BC=√2500=50cm
Aria(ΔABC)=(1/2)·AB·AC=(1/2)·30·40=600 cm².
Daca AM⊥BC, M∈BC, atunci Aria(ΔABC)=(1/2)·BC·AM=25·AM,
deci 25·AM=600, ⇒AM=600:25=24
DM⊥BC (am aratat asta in punctul b) )
Din ΔDAM, T.P ⇒DM²=AD²+AM²=18²+24²=6²·3²+6²·4²=6²·(3²+4²)=6²·25
Deci DM=√(6²·25)=6·5=30cm
Atunci Aria(ΔBDC)=(1/2)·BC·DM=(1/2)·50·30=25·30=750cm²