Question

99 de puncte !!

Vreau sa demonstrati ca :
(nu vreau sfaturi etc)

1)Diagonalele paralelogramului se taie in segmente congruente.
2)Daca intr-un patrulater doua laturi opuse sunt paralele si congruente , atunci patrulateru este paralelogram.

Answer 1

a)
O sa pornim de la urmatoarea teorem:
- O dreapta care se intersecteaza cu doua drepte paralele determina de o parte si de alta a ei unghiuri congruente, care se numesc si unghiuri alterne interne.

Stim ca un paralelogram este un patrulater convex cu laturile opuse paralele (asta e definitia).

Fie paralelogramul ABCD, si AC ∩ BD = {O}, intersectia diagonalelor.

AB || CD, AC secanta ==>
∡BAC ≡ ∡DCA (1)
∡BCA ≡ ∡DAC (2)
AC - latura comuna in triunghiurile ΔADC si ΔABC (3)

(1), (2), (3)  ==>  (cazul ULU) ΔADC ≡ ΔABC  ==>  AB = CD si BC = AD

AC secanta la paralelele AB si CD  ==>  ∡CAB ≡ ∡ACD (1)
BD secanta la paralelele AB si CD  ==>  ∡ABD ≡ ∡BDC (2)
AB = CD (3)

(1), (2), (3)  ==>  (cazul ULU) ΔABO ≡ ΔCDO  ==> AO = OC si BO = OD  ==>  Diagonalele se taie in segmente congruente

b)
Aici ne vom folosi de reciproca acelei teoreme: Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.

Fie patrulaterul ABCD, cu AB = CD si AB || CD

AB = CD (1)
BD - latura comuna pentru ΔABD si Δ BDC (2)
BD - secanta la paralelele AB si CD  ==>  ∡ABD ≡ ∡BDC (3)

(1), (2), (3)  ==> (cazul LUL) ΔABD ≡ ΔBDC  ==>  ∡CBD ≡ ∡ADB  ==>  Unghiuri alterne interne fata de secanta BD  ==>  BC || AD

BC || AD si AB || CD  ==>  ABCD - paralelogram