Question

A(0,a), B(-1,2), C(4,5), a ∈ IIR. Sa se determine a pentru care triunghiul ABC este dreptunghic in A

Answer 1

distanta dintre 2 puncte A(a,b) si C(c,d) este
$AC^{2}=(c-a)^{2}+(d-b)^{2}$
Atunci pentru laturile triunghiului avem
$AB^{2}=(-1-0)^{2}+(2-a)^{2}=a^{2}-4a+4+1=a^{2}-4a+5$
$AC^{2}=(4-0)^{2}+(5-a)^{2}=a^{2}-10a+25+16=a^{2}-10a+41$
$BC^{2}=(4-(-1))^{2}+(5-2)^{2}=5^{2}+3^{2}=25+9=34<span>$
unghiul dreptunghic este in A, atunci AB si AC sunt catete si BC este ipotenuza. Aplicam regula lui Pitagora
$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\Rightarrow a^{2}-4a+5+<span>a^{2}-10a+41=34\Rightarrow 2a^{2}-14a+46-34=0\Rightarrow 2a^{2}-14a+12=0\Rightarrow a^{2}-7a+6=0\Rightarrow a^{2}-6a-a+6=a(a-6)-(a-6)=(a-6)(a-1)=0</span>$
Deci avem doua solutii: a=1, sau a=6