Question

A(1 1) , G= {M(x)=I2+aA | a apartine R}
1 1

a) I2 apartine G?
b) M(x)M(y)=M(2xy+x+y)
c) M³(x)?

Answer 1

I2 = I2    + 0 · A    ⇒  ∈  G 
notez cu I =  I2  matricea unitate  
b.    M(x) · M(y) = [ I+ x·A ] · [ I + y ·A] = 
  =I ²   + x · A · I  + y ·A · I + xy· A² = 
stim  I² = I           ; A· I =A 
   = I + x·A + yA + A² 
A² = 2    2          = 2 · A 
       2     2 
= I + xA + yA + 2xyA = I + ( x + y +2xy ) · A 
                                           
⇒  deci  M(x) · M(y) =   M ( x + y + 2xy ) 
M²(x) = M(x) · M(x) = M ( x + x+ 2xx ) = M( 2x + 2x²) 
M³( x) = M(x) · M( 2x + 2x² ) = M [ x + 2x + 2x² + 2·x(2x + 2x² )]=
             = M ( 3x + 2x² + 4x² + 4x³ ) = M ( 3x + 6x² + 4x³)