Question

A=1+3+5+7+....+199
Aratati ca A este patrat perfect

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

1)A=1+3+5+7+...+199

A este o progresie aritmetica de ratie r=2

Primul termen este 1 si ultimul este 199

a1=1 si a100=199

Se aplica formula Pentru suma celor 100 de termeni

S100= $\frac{(a1+a100)*100}{2}$    100=n(cate numere sunt)

S100=200*50

S100=10000=$10^{4}$ Care este patratul perfect al lui 100

Aici este suma numerelor impare care are urmatoarea proprietate :

2) 1+3+5+..............+(2n-1)=$n^{2}$  ,unde n - cate numere sunt

Demonstratia se poate face si prin inductie..Dupa ce-ai demonstrat asta..Aplici in cazul tau..Se aplica pentru 100 de numere...Deci Suma ta este 100*100

3)A=1+2*2-1+2*3-1+............+2*100-1

A=1+2(2+3+4+....100)-99

2+3+4+....100=(1+2+3+....+100)-1.. 1+2+3..+100 (SUpa de tip Gauss) ->>1+2+3+4+...+100=101*50=5050

Deci 2+3+4+...+100=5050-1=5049

A=1+2*5049-99 =  1+10098-99=10099-99=10000=100*100..Deci A este patrat perfect

Answer 2

Explicație pas cu pas:

A=1+3+5+7+....+199

2k-1=1;k=1

2k-1=3;k=2

2k-1=199⇒k=(199+1)/2⇒k=100

A=(2-1)+(4-1)+(6-1)+...+(200-1)

A=2(1+2+3+...+100)-100

A=2*100(100+1)/2 -100

A=10100-100

A=10000

A=100²

Bafta!