Question

A(1,5) B(6,2) C(3,-8)
a)Sa se calculeze Aria
b)Sa se calculeze sinA.

Answer 1

Orice dreapta are ecuatia y=mx+n unde m reprezinta panta acelei drepte. Daca avem 2 puncte A(a,b) si C(c,d) panta dreptei care contine cele doua puncte se calculeaza dupa formula
$m=\frac{d-c}{b-a}$
In cazul nostru pentru A(1,5) si C(3,-8) avem
$m=\frac{-8-5}{3-1}=\frac{13}{2}$
daca punctul A(a,b) apartine dreptei y=mx+n, atunci stim ca
b=ax+n. Putem calcula in mod asemanator pe n in cazul nostru folosindu-ne de punctul A(1,5)
$5=-\frac{13}{2}+n\Rightarrow n=\frac{2*5+13}{2}=\frac{23}{2}$
Deci avem dreapta pentru AC: $y=-\frac{13}{2}x+\frac{23}{2}$
Distanta de la un punct P(e,f) la o dreapta y=mx+n este
$d=\frac{|f-m*e-n|}{\sqrt{1+m^{2}}}$
In cazul nostru considerand distanta de la punctul B(6,2) catre dreapta dedusa
$d=\frac{|2+6*\frac{13}{2}-\frac{23}{2}|}{\sqrt{1+\frac{13^{2}}{4}}}=\frac{2+39-\frac{23}{2}}{\sqrt{\frac{4+169}{4}}}=\frac{\frac{41*2-23}{2}}{\frac{\sqrt{173}}{2}}=\frac{59}{\sqrt{173}}$
Dar aceasta distanta de la B la AC este de fapt inaltimea in triunghiul ABC care porneste din B si are baza AC. Notam aceasta inaltime cu BD
Acum trebuie sa aflam baza AC. Daca avem A(a,b) si C(c,d) atunci segmentul BC se calculeaza dupa formula
$AC=\sqrt{(c-a)^{2}+(d-b)^{2}}$ pentru B(6,2) si C(3,-8) avem
$AC=\sqrt{(3-1)^{2}+(-8-5)^{2}}=\sqrt{2^{2}+13^{2}}=\sqrt{4+169}=\sqrt{173}$
Stim ca aria unui triunghi este baza ori inaltimea, tunci
$A_{ABC}=\frac{BD*AC}{2}=\frac{\frac{59}{\sqrt{173}}*\sqrt{173}}{2}=\frac{59}{2}$
b) BD este perpendiculara pe AC atunci triunghiul ADB este dreptunghic, cu D=90 grade, AD si BD sunt catete, AB este ipotenuza
Atunci sin care este cateta opusa/ipotenuza va fi in acest caz
$\sin{A}=\frac{BD}{AB}$
Trebuie sa aflam si pe AB acum
$AB=\sqrt{(6-1)^{2}+(2-5)^{2}}=\sqrt{5^{2}+3^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$
Atunci
$\sin{A}=\frac{BD}{AB}=\frac{\frac{59}{\sqrt{173}}}{\sqrt{34}}=\frac{59}{\sqrt{173*54}}=0.6$ aproximativ