Question

a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

Answer 1

$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac$

Trecem totul în membrul stâng:

$a^2+b^2+c^2-( ab+bc+ac) \geq0\\\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac \geq0$

Înmulțim toată inegalitatea cu 2.

[tex]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac \geq0 \big/ \cdot2\\\\ 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) \geq0\\\\ 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac \geq 0[/tex]

Iar acum încercăm să grupăm termenii astfel încât să formăm pătrate perfecte. Pentru asta, vom începe prin a lua un $a^2$ de la $2a^2$ pe care îl vom grupa cu un $b^2$ luat de la $2b^2$ şi cu $-2ab$.

$(a^2+b^2-2ab)+a^2+b^2+2c^2-2bc-2ac \geq 0$

Vom repeta procesul, grupând $b^2$, $c^2$
 şi $-2bc$, respectiv $a^2$, $c^2$ şi $-2ac$, de unde rezultă:

$(a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(a^2+c^2-2ac) \geq 0$

După cum poţi observa, fiecare paranteză se restrânge într-un pătrat perfect.

$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \geq 0$

Această afirmație este adevărată, întrucât este o suma a trei pătrate, iar noi știm că orice număr la pătrat este mai mare sau egal cu 0, deci și suma lor va fi mai mare sau egală cu 0.