Question

a=2^n+3 ori 3^2n + 2^n ori 9^n+1 + 2^n ori 3^2n+1, nEN
a) aflati ultima cifra a numărului a
b) arătați ca numărul a este divizibil cu 10
c) aflați restul împărțirii numărului a+2016 la 5
RASPUNS RAPID!!!! VA ROG MULT :)

Answer 1

$a)~A=2^{n+3} \cdot 3^{2n}+2^{n}\cdot 9^{n+1}+2^{n}\cdot3^{2n+1}\\ \\ A=2^{n}\cdot 2^{3} \cdot (3^{2})^{n}+2^{n}\cdot9^{n}\cdot 9^{1}+2^{n}\cdot 3^{2n}\cdot 3^{1}\\ \\ A=2^{n}\cdot 8 \cdot 9^{n}+(2\cdot 9)^{n}\cdot 9+2^{n}\cdot(3^{2})^{n}\cdot3\\ \\ A=(2\cdot 9)^{n}\cdot 8 + 18^{n}\cdot9+2^{n}\cdot 9^{n}\cdot 3\\ \\ A=18^{n} \cdot 8 + 18^{n}\cdot 9 + (2\cdot 9)^{n}\cdot 3\\ \\ A=18^{n} \cdot 8 + 18^{n} \cdot 9 + 18^{n}\cdot 3\\ \\ A=18^{n}(8+9+3)\\ \\ A=18^{n}\cdot 20\\ \\ A=18^{n}\cdot 2 \cdot 10 \Rightarrow \text{ultima cifra a lui A va fi 0}\\ \\ \\ \\ b)~A=18^{n}\cdot 2 \cdot 10 \Rightarrow \text{A este divizibil cu 10}\\ \\ \\ \\ c)~A+2016=18^{n}\cdot 20 +2016\\ \\ 18^{n}\cdot 20=18^{n}\cdot 4\cdot 5 \Rightarrow 18^{n}+20~divizibil~cu~5\\ \\ 2016:5=403~(rest~1)\\ \\ A+2016=18^{n}\cdot 20 +2016=18^{n}\cdot 4\cdot 5~+~403\cdot5 +1=\\ \\ =5(18^{n}\cdot 403)+1\\ \\ (A+2016):5=[5(18^{n}\cdot 403)+1]~:5=18^{n}\cdot 403~(rest~1)\Rightarrow restul~~impartirii~~numarului~A+2016~la~5~este~1$